解释GARCH模型及其在波动率预测中的应用。

GARCH模型背景

金融时间序列特征

1. 波动率聚集: 大波动后跟随大波动
2. 尖峰厚尾: 收益分布比正态分布更尖
3. 均值回归: 波动率长期趋向均值

ARCH模型的提出

Engle(1982)提出ARCH(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)模型:

σ²_t = α₀ + α₁ε²_{t-1} + α₂ε²_{t-2} + ... + α_pε²_{t-p}

局限: 需要很多滞后项

GARCH(p,q)模型

定义

Bollerslev(1986)提出GARCH(Generalized ARCH):

收益方程: r_t = μ + ε_t
误差项: ε_t = σ_t × z_t,  z_t ~ N(0,1)
方差方程: σ²_t = ω + Σα_i ε²_{t-i} + Σβ_j σ²_{t-j}

GARCH(1,1) - 最常用

σ²_t = ω + α × ε²_{t-1} + β × σ...