解释蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation)及其在金融中的应用。

蒙特卡洛模拟定义

蒙特卡洛模拟是一种通过重复随机抽样来估计数学期望、概率分布或复杂系统行为的数值方法。

核心思想: 用大量随机实验的结果来逼近真实解。

基本原理

大数定律

当试验次数n → ∞时，样本均值 → 总体期望

E[X] ≈ (1/n) × Σ X_i

基本步骤

1. 定义随机变量和分布
2. 生成大量随机样本
3. 对每个样本计算目标值
4. 汇总统计结果

金融应用

1. 期权定价

特别适用于:

• 路径依赖期权(Asian, Barrier)
• 多资产期权(Basket)
• 奇异期权

代码示例:

import numpy as np

def monte_carlo_european_call(S0, K, T, r, sigma, n_simulations=100000):
    # 生成随机路径
    Z = np.random.standard_normal(n_simulations)

    # 股票终值 (风险中性测度下)
    ST = S0 * np.exp((r - 0.5*sigma**2)*T + sigma*np.sqrt(T)*Z)

    # 期权收益
    payoff = np.maximum(ST - K, 0)

    # 折现
    price = np.exp(-r*T) * np.mean(payoff)

    return price

2. VaR计算

优势: 可以处理非正态分布和非线性组合

def monte_carlo_var(returns, confidence=0.95, n_simulations=10000):
    # 拟合分布参数
    mu, sigma = returns.mean(), returns.std()

    # 模拟
    simulated = np.random.normal(mu, sigma, n_simulations)

    # VaR
    var = np.percentile(simulated, (1-confidence)*100)

    return -var

3. 信用风险

• 违约相关性建模
• CDO定价
• Credit VaR

4. 投资组合优化

• 预期收益和风险估计
• 尾部风险分析
• 资产配置

方差缩减技术

1. 对偶变量法(Antithetic Variates)

同时使用Z和-Z
减少方差约50%

2. 控制变量法(Control Variates)

利用已知期望的相关变量
Y_adj = Y - c*(X - E[X])

3. 重要性抽样(Importance Sampling)

改变抽样分布
增加重要区域的采样

优缺点

优点

• 处理复杂问题的灵活性
• 可以处理高维问题
• 易于理解和实现

缺点

• 计算成本高
• 收敛速度慢(O(1/√n))
• 伪随机数质量影响结果