有100个硬币，1个双面都是正面，99个是公平硬币。随机选一个扔10次都是正面，这个硬币是双面正的概率是多少?

问题分析

这是一个典型的贝叶斯条件概率问题。

已知信息

• 100个硬币: 1个双面正(FF)，99个公平(F)
• 随机选一个扔10次，结果全是正面
• 求: 这个硬币是双面正的概率

贝叶斯公式

P(FF|10H) = P(10H|FF) × P(FF) / P(10H)

其中:

• P(FF|10H): 给定10次正面，是双面正的概率 (要求)
• P(10H|FF): 给定双面正，10次正面的概率
• P(FF): 先验概率，选到双面正
• P(10H): 10次正面的总概率

计算各概率

1. 先验概率

P(FF) = 1/100 = 0.01
P(F) = 99/100 = 0.99

2. 似然概率

P(10H|FF) = 1  (双面正必然10次正面)
P(10H|F) = (1/2)^10 = 1/1024  (公平硬币)

3. 全概率公式计算P(10H)

P(10H) = P(10H|FF) × P(FF) + P(10H|F) × P(F)
       = 1 × (1/100) + (1/1024) × (99/100)
       = 1/100 + 99/102400
       = 1024/102400 + 99/102400
       = 1123/102400

4. 贝叶斯公式

P(FF|10H) = P(10H|FF) × P(FF) / P(10H)
          = 1 × (1/100) / (1123/102400)
          = (1/100) × (102400/1123)
          = 1024/1123
          ≈ 0.912 (约91.2%)

答案

这个硬币是双面正的概率约为 91.2% (精确值: 1024/1123)

直觉验证

• 虽然双面正硬币只有1%的先验概率
• 但公平硬币连续10次正面的概率极低(约0.1%)
• 观测到这个极端结果后，大幅更新了我们的信念

Python验证

# 贝叶斯计算
p_ff = 1/100           # 先验
p_f = 99/100
p_10h_given_ff = 1     # 似然
p_10h_given_f = 0.5**10

# 全概率
p_10h = p_10h_given_ff * p_ff + p_10h_given_f * p_f

# 后验
p_ff_given_10h = (p_10h_given_ff * p_ff) / p_10h

print(f"P(FF|10H) = {p_ff_given_10h:.4f}")  # 0.9119
print(f"精确值: 1024/1123 = {1024/1123:.4f}")

变体问题

如果扔n次都是正面?

P(FF|nH) = 1 / (1 + 99 × (1/2)^n)

n=1: 2/101 ≈ 2%
n=5: 32/131 ≈ 24%
n=10: 1024/1123 ≈ 91%
n=20: 几乎100%